Page 87 - 6245

lim → ƒ( )нескінченна.

Зауваження 2. Точки, що "підозрілі" на вертикальні асимптоти, -це
скінченні межові точки області визначення D(ƒ) та точки розриву функції

у=ƒ(x) .

Зауваження 3 . Графік функції може мати довільну кількість
вертикальних асимптот.
б) Похила (зокрема, горизонтальна) асимптота. Нехай функція у = ƒ(x)
має при x→+∞ праву похилу асимптоту, рівняння якої у= kх +b (рис. 72).

Визначимо числа k і b.

Нехай M (х; ƒ(x))- змінна точка, що належить графіку функції, і N (х; у)-
відповідна точка, що належить асимптоті. Відстань від точки M до
асимптоти дорівнює довжині перпендикуляра MP За умовою

lim → = 0 . Якщо φ- кут нахилу асимптоти до осі Ох, то з ∆NMP
маємо NM=MP/ cosφ. Оскільки φ- стала величина і φ≠ π/ 2 ,то

lim → = 0 і lim → = 0 одночасно.

Але NM=|QM=QN|=|ƒ(x)-y|=|ƒ(x)-kx-b| . Тоді

lim → (ƒ( ) − − ) = 0 абоlim → (ƒ( )/ − − / ) = 0

Через те, що х→+∞, має виконуватись рівність

lim → (ƒ( )/ − − / ) = 0 .

Оскільки k і b - сталі величини, то lim → ( / ) =

0 .

Тоді lim → (ƒ( )/ − ) = 0

або k=lim → (ƒ( )/ ) = 0 .

Знайшовши: k, для b маємо b=lim → (ƒ( )/ − ) .

Отже, якщо пряма у = kb + b є правою похилою асимптотою, то k і b
знаходяться як граниш

k=lim → (ƒ( )/ −) = 0 b=lim → (ƒ( ) − ) = 0 ,
де спочатку* обчислюється k а потім b .
Навпаки, якщо існують указані границі для визначення k і b , то має
місце рівність

lim → = 0 і пряма y=kx+b є похила асимптота. Якщо хоча б одна з
83