Page 83 - 6245

яка всюди визначена. Шукане значення велечини x знаходиться з умови
найменшого значенння цієї функції.Маємо:

f ' (x)=2( − ) + 2( − ) +…2( − ) ; f ' (x)=2n.

З рівняння f ' (x)=0 знаходимо єдину критичну точку
= ( + +. . . ) ∕ . Оскільки в цій точці f ' (x)=2n> 0 , то в ній функція

досягає найменшого значення.
Отже, шуканим значенням велечини x є середнє арифметичне її
наближених значень.
Приклад 2. Нехай електричний ліхтар рухається на блоці
вздовж вертикальної прямої Ox, що проходить через
x центр О круглого горизонтального майданчика радіуса
B
AO=R (рис.66). На якій висоті
α
α
BO=x над горизонтальною площиною треба його

A повісити, щоб освітленість пери метра майданчика була
O
найкращою?
З фізики відомо, що освітленість J предмета А прямо пропорційна
косинусу кута падіння променів і обернено
пропорційна квадрату відстані AB=r предмета від джерела світла

B: = k cos α ∕ r , де k − коефіцієнт пропорційності, що
залежить від сили світла ліхтаря.

З рис.66 маємо: = = + = + ;

⁄
⁄
os = = √ + ⋅

Тоді = /( + ) ⁄ , де (0; +∞).
Похідні цієї функції
∕

∕

( ) ⋅( ∕ )⋅( ) ( )
′ = = ⋅

∕
( ) ( )
Критичні точки: а)стаціонарні точки:
⁄

J′=0; k( − 2 ) ( + )⁄ =0; − 2 = 0;
⁄
⁄
= − √2 2 ∉ (0; +∞); = √2 2 ∈ (0; +∞);

б) точки розриву J': ( + ) ⁄ = 0; ∈ ∅.
Оскільки при → і → ∞ ( ) → 0, а усередині
⁄
інтервалу (0;+∞) маємо єдину стаціонарну точку = √2 2,
в якій
⁄

⁄
⁄
⁄
J( √2 2)=k( √2 2)/ + √2 2 = 2√3 9 > 0,
⁄
то в цій точці функція J(x) приймає найбільше значення. Отже,
79