Page 85 - 6245

Теорема2 (необхідні умови точки перегину).
Якщо М 0(x 0;y 0) – точка перегину графіка функції ƒ(x), то друга похідна ƒ(x)в

точці х 0 або існує або дорівнює нулю.
ƒ (x)=0 або не існує.

Якщо функція ƒ (x) неперервна в деякому околі точки x 0 і в цій точці
друга похідна ƒ (х) або існує і дорівнює нулю, або не існує, то точка x 0

називається критичною точкою другої похідної.

Зауваження 1. Критичні точки другої похідної - це точки, що "підозрілі"
на перегин.

Теорема 3 (достатня умова точки перегину).

Нехай x 0 – критична точка другої похідної функції ƒ(х) , яка двічі
диференційована в деякому околі цієї точки х 0 , крім , можливо самої х 0.

Якщо при переході через цю точку:

1)друга похідна ƒ (х) змінює знак, то при х=х 0 функція має перегин;

2)знак другої похідної ƒ ́(х) не змінюється , то при х=х 0 функція перегину не
має.

Зауваження 2. Правило дослідження функції на опуклість, угнутість і
перегин аналогічне правилу дослідження функції на монотонність і
екстремум. Треба тільки замість знака першої похідної аналізувати знак

другої похідної.

Приклад. Знайти інтервали опуклості, вгнутості та точки перегину
2
графіка функції y=ln(х + 9) .

Область визначення функції:
2
D(у) : х +9>0; х ∊ (-∞; +∞).

Знаходимо другу похідну:

∙ ( )
= ; y =2∙ = .

( ) ( )

Критичні точки другої похідної:
81