Page 84 - 6245

⁄
ліхтар треба повісити на висоті BO= √2 2.

7.5. Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину

Нехай функція f(x) визначена і неперервна на проміжку

(a;b)і в точці ∈ ( ; ) має скінченну похідну. Тоді до графі-

ка даної функції у точці ; ( ) можна провести дотичну.

Крива (графік функції) називається опуклою в точці ,

якщо в деякому околі цієї точки вона розташована нижче дотич-
ної, проведеної в точці (рис. 67). Якщо крива розташована

вище дотичної, то вона називається угнотою (рис.68)

Точка ; ( ) називається точкою перегину, якщо у досить

малому її околі точки кривої з абсцисами < лежать з одного боку від

дотичної, а точки з абсцисами > − з іншого (рис.69). Тобто, у точці

крива переходить з одного боку дотичної до іншого.
Крива(графік функції)називається називається опуклою на інтервалі
( ; ), якщо вона опукла в кожній його точці. Тобто, на цьому
інтервалі крива лежить нижче кожної своєї дотичної.
Аналогічно, на інтервалі вгнутості крива лежить вище кожної своєї
дотичної.
Точка перегину− це точка кривої, і якій сполучається ділянка опуклості
з ділянкою вгнутоті.
Теорема 1 (достатні умови опуклості та вгнутості). Нехай на інтервалі
( ; ) задана двічі диференційована функція f(x).

Якщо для всіх ∈ ( ; ) друга похідна f"(x):

1) від’ємна, то графік функції опуклий;
2) додатна, то графік функції вгнутий;
3) дорівнює нулю, то графік функції−пряма лінія.

y y y

М М 0
0
y 0 y 0 М 0 y 0

0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x

80