Page 81 - 6245

Приклад 2. Дослідити функцію y=x l на екстремум.

Область визначення функції:

D(y): x> 0; x∈ (0; +∞).

Похідна цієї функції y'=x l +2 ln x.
Критичні точки:

а) стаціонарні точки.

y'=0; l +2lnx=0; lnx⋅ (lnx+2)=0;

ln x =0 або ln x+2=0; x=1∈ ( ); x= ∈ ( );

б) точки розриву y ' : немає.

Усі критичні точки є стаціонарними, де можливий гладкий екстримум.
Застосовуємо другу похідну:

y"=2ln ⋅ (1/x)+ 2 ⋅ (1/ x)=2(lnx+1) / x;

y"(1)=2 (ln1+1) /1=2 > 0 ⇒x= 1 −min;

y"( ) = 2 ( ln +1 ) = 2 < 0 ⇒x= − .

Відповідні екстримальні значення функції

= (1) = 1 ⋅ l 1=0; = ( ) = ⋅ l =4 .
7.3 Найменше та найбільше значення функіцї на відрізку

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a;b]. Тоді за

Відповідною властивістю на цьому відрізку вона досягає найбільшого і
найменшого значень, які відповідно називають глобальним
(абсолютним) максимумом і мінімумом даної функ ції f(x) на вказаному
відрізку [a;b]. Ці значення можуть досягатися на кінцях відрізка або у
внутрішніх точках, що є точками екстремуму функції. Звідси випливає

Правило знаходження найбільшого і найменшого значень

неперервної функції f(x) на відрізку [a;b].

1) знайти всі критичні точки першої похідної f ' (x), що лежать
усередині відрізка [a;b];
2) обчислити значення функції f(x) в знайдених критичних
точках і на кінцях відрізка;

77