Page 80 - 6245

y'=0; − = 0; x+8=0; x=−8 ∈ ( );
√ ( )

б) точки розриву y' : 3√ ( − 4) = 0;

√ = 0 або √ ( − 4) = 0; x=0∈ ( ); x=4∉ ( ).

Область визначення функції розбивається на інтервали (рис. 65). На
кожному інтервалі обираємо по одному пробному значенню аргументу

= −9, = −1, = 1, = 5, і визначаємо в них знак похідної:

y'(−9) = − < 0; y'(−1) = − > 0;
√ ⋅( ) √ ⋅( )

− + − −
(1) = − < 0;
√ ⋅( )

-8 0 4 (5) = − < 0.

√

Фцнкція зростає x ∈ (−8;0); функція спадає при

x ∈ (−∞; −8) ∪ (0; 4) ∪ (4; +∞).

Точка мінімуму = −8; точка максимуму = 0.

Відповідні екстремальні значення функції

= (−8) = (−8) /(−8 − 4) = −1/3; =y(0)=0.
Теорема 2 (достатня умова гладкого екстремуму за другою

похідною). Нехай − стаціонарна точка функції f(x) , яка

двічі диференційована в деякому околі цієї точки . Якщо друга похідна f '

(x) у цій точці :

1) від’ємна, то при x= функція має максимум;

2) додатна, то при x= функція має мінімум;

3) дорівнює нулю, то питання про наявність і характер екстремуму
залишається відкритим і потрібні додаткові дослідження. (Наприклад, з
використанням похідних більш високого порядку).

76