Page 78 - 6245

(x)=0 (дотична паралельна осі Ох) і точки гострого екстремуму (див.рис.61),
в яких функція недиференційована (графік зазнає зламу)- похідна f ‘ (x) має
розрив (нескінченна чи взагалі не існує).

Теорема 1 (теорема Ферма – необхідна умова гладкого екстремуму).Якщо
диференційована функція f(x) має в точці х екстремум, то її похідна

дорівнює нулю f ‘ ( ) =0 .

Доведення спирається на теорему Ролля.

Приклад. Функції y= = всюди диференційовані.

При х=0 вони мають рівну нулю похідну y ‘ = 0. У цій точці функція y=

досягає мінімуму, а функція y= екстремуму не має.

У цьому прикладі досліджено неперервно диференційовані функції.

Розглянемо приклади функцій, що мають розриви означає, що в точці

функція f(x) має максимум.

Аналогічно доводяться інші два випадки.

Правило дослідження функції f(x) на монотонність і екстремум:

1)Знайти область визначення функції D(f).

2) Продиференціювати функцію y = f (x).

3)Знайти критичні точки першої похідної:

а) Стаціонарні точки. Для цього розв’язати рівняння

f '(x) = 0 і з одержаних розв’язків вибрати ті, що є внутріш-
німи точками області визначення D (f) функції.
б)Точки розриву похідної f '(x). Для цього знайти точ-

ки, в яких похідна не існує, і з них вибрати ті, що є внутрішніми точками

області визначення D( f ) функції.

74