Page 77 - 6245

1) додатна, то функція на цьому відрізку зростає;

2) від’ємна, то функція на цьому відрізку спадає;

3) дорівнює нулю, то функція на цьому відрізку стала.

Нехай f ‘(x) > 0 для всіх x (a;b). Розглянемо довільні значення , [

a;b] такі, що x < x . За теоремою Лагранжа про скінченні прирости маємо:

f ( ) − ( ) = ( )( − ), де x < < x За умовою теореми f ‘( c )>0.

.

Звідси f ( ) − ( ) > 0. Це означає що f(x)- зростаюча функція.

Аналогічно доводяться інші два випадки.
Зауваження. Розглянемо монотонність у строгому сенсі.

Приклад. Визначити інтервали зростання і спадання функції а) y= ;
б) y=arctgx.

а)Похідна цієї функції y’= .Коли х > 0, то y’ > 0 – функція зростає; коли
х < 0, то y’ < 0 – функція спадає.

б) Похідна цієї функції y’ =1 (x +1) додатна при всіх x (−∞; +∞).Отже,
функція y=arctg x всюди зростає.

7.2 Максимум і мінімум функції. Необхідні умови екстремуму.

Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки x= - внутрішня точка

області визначеня D(f).

Точка називається точкою мінімуму (відповідно точкою максимуму),

якщо для всіх x≠ з деякого околу цієї точки х виконується нерівність

f( ) < ( ) (відповідно f( ) > ( ) ).Точки обох типів – мінімуму та

максимуму x - називають точками екстремуму, а значення функції y=f(x) в
точках екстремуму – екстремальними значеннями (екстремумами)

функції відповідного типу:

= ( ); = ( )

Зауваження 1. Розглядаємо лише точки внутрішньо локального( відносно
всіх близьких сусідніх точок) строго екстремуму.

Зауваження 2. Розрізняють точки гладкого екстремуму (див.рис. 60), в околі
яких функція неперервно диференційована (графік гладкий) і похідна f ‘

73