Page 75 - 6245

– многочлен Тейлора n-го порядку для функції f(x) .Тут n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ n -
…
n-факторіал; 0!=1; 1!=1

Теорема. Якщо функція ƒ(х) в деякому околі точки х має похідні до (п+1)-го

порядку включно, то залишковий член формули Тейлора можна подати в

формі Лагранжа

( ) ( )
( ) = ( − )

( + )!

Де с= х + (х-х ), 0 < < 1 .

Зауваження 1. Формула Тейлора є узагальненням формули Лагранжа про
скінченні прирости.

Зауваження 2. Якщо в формулі Тейлора змінити х на х, х на х + ∆х і

перенести ƒ(х) вліво, а потім розразувати що ƒ(х+∆ ) – ƒ(х) = ∆ƒ(х) і ƒ ( ) (x) ∙

∆ = ƒ(x), то її можна подати в диференціальній формі.

Зауваження 3. При = 0 маємо окремий випадок формули Тейлора-

формулу Маклорена

( ) ( ) ( )

f(x)=f (0)+ x + … + + (x)

! !
( ) ( )
де ( ) = ( )! , 0< <1.

Наведемо приклади розкладання деяких функцій за формулою Маклорена.

1. Експонента = 1+ + +. . . + +
! ! ! ( )!
2.Синус

= x - + - … + (− ) + (− )
! ! ( )! ( )!

3. Косинус

71