Page 63 - 6245

6.7. Диференціал функції та його властивості.

Диференціали вищих порядків

Нехай = ( ) – деяка функція, визначена на проміжку (a;b) і неперервна
у деякій фіксованій точці цього проміжку, і нехай приростом аргументу ∆

відповідає приріст функції ∆ = ∆ ( ) = ( + ∆ ) − ( ), який є функцією
аргументу ∆ .

Якщо для приросту ∆y існує таке число , що приріст функції можна
записати ∆ = ∙ ∆ + ∆ , де множник = (∆ ) задовольняє рівності

lim ε ∆ → (∆ ) = 0 , то кажуть, що функція = ( ) диференційована у
точці . Головна частина = ∆ приросту функції ∆ , яка прямо
пропорційна аргументу ∆ , називається диференціалом функції.

Теорема 1 (зв’язок між похідною та диференціалом). Щоб функція =
( ) у точці була диференційована, необхідно і достатньо, щоб вона мала

у цій точці скінченну похідну. ( ). Якщо виконується ця умова, то =
′( )∆ .

а) Необхідність. Нехай ∆ = + ∙ ∆ , де = ∙ ∆ , = ≠ 0,

lim ∆ → (∆ ) = 0. Тоді = lim = lim = lim +
∆ → ∆ → ∆ →

lim = + 0 = ; = Δ .
∆ →

∆
б) Достатність. Нехай lim = ≠ 0. За означенням границі = + ,
∆ → ∆

де lim (Δ ) = 0. Звідси Δ = Δ + Δ . Покажемо, що ′Δ – головна
∆ →
частина

Δ lim = lim = ∙ 0 = 0.
∆ → ∆ →

Тут ∆ не обов’язково нескінченно мала; але якщо ∆ – нескінченно мала,
то й – нескінченно мала. Саме у цих випадках ( за умови, що ( ) ≠ 0)

є головною частиною нескінченного малого простору функцій ∆ .

Диференціалом незалежної змінної називають її приріст ∆ , тобто

= ∆ .

З урахуванням цієї рівності, маємо = ( ) . Тоді ( ) = / .
Тобто похідна дорівнює відношенню диференціалів функції та аргументу.
59