Page 67 - 6245

( ; ) знайдеться хоча б одна точка с, в якій похідна дорівнює нулю ( ) =
0.

Оскільки функція ( ) неперервна на відрізку [ ; ], то вона досягає на
ньому свого найбільшого і найменшого значень.

Нехай ( ) = , де ∈ ( ; ). Через те, що ( ) = - найбільше
значення функції, то ( + ∆ ) − ( ) ≤ 0 як при ∆ > 0, так і при ∆ < 0.
Отже, ( ( + ∆ ) − ( ))/∆ ≤ 0, коли ∆ > 0, і ( ( + ∆ ) − ( ))/∆ ≥ 0,
коли ∆ < 0.

За умовою теореми похідна ′( ) існує, тобто lim ∆ → ( ( + ∆ ) −
)/∆ = ′( ). Але тут ′( )≤0 при ∆ >0 і ′( )≥0 при ∆ <0.

Ці нерівності сумісні лише тоді, коли ( ) = 0. Отже і є точка , де
похідна дорівнює нулю

Геометричний зміст. За умов, які вказані в теоремі Ролля, на дузі існує

хоча б одна дотична .Що паралельна осі (рис.58).

Теорема 2 (теорема Лагранжа про скінченні

прирости). Якщо функція ( ) неперервна на
відрізку [ ; ] і диференційована в усіх його
внутрішніх точках, то на інтервалі ( ; ) знайдеться

хоча б одна точка , в якій виконується рівність
( ) − ( ) = ′( )( − ) – формула Лагранжа
скінченних приростів.

Визначимо число рівністю ( ( ) − ( ))/( − ) = .

Складемо допоміжну функцію ( ) = ( ) − ( ) − ( − ) ∙ .

Очевидно, що ( ) = 0 і ( ) = 0.

Функція ( ) неперервна на відрізку [ ; ] і диференційована у кожній
внутрішній точці. Отже, вона відповідає теоремі Ролля, за якою у середині

відрізка є точка така, що ( ) = 0. Але ( ) = ( ) − .

Тому ( ) = ( ) − = 0. Звідси ( ) = , тобто ( ) − ( ) =

( )( − ).

63