Page 65 - 6245

дорівнює значенню похідної ′( ). Якщо аргументу функції надати приріст

Δ , то приріст функції Δ = ( + Δ ) − ( ). На рис.57 приріст функції

Δ - довжина відрізка . При цьому приріст дотичної дорівнюватиме

довжині відрізка . При цьому приріст дотичної дорівнюватиме довжині
відрізка . Обчисливши | як катет прямокутного трикутника ,
маємо = ∙ = ′( )∆ .

За означенням диференціала ( )∆ = .

Таким чином, якщо ∆ = – приріст ординати

графіка функції, то диференціал = є
приростом ординати дотичної.

Диференціал у наближених обчисленнях. При
достатньо малому ∆ можна замінити приріст
функції її диференціалом, тобто ( + ∆ ) −

( ) ≈ ′( )∆ . Тоді наближене шукане

значення функції можна знайти за формулою ( + ∆ ) ≈ ( ) + ′( )∆ .

Зауваження 1. Нажаль, ця формула не дозволяє оцінити похибку
отриманого наближення.

Приклад 2. Обчислити наближено sin 46°

Покладемо = /4, що відповідає 45°; ∆ = /180, що відповідає 1°;

+ ∆ = /4 + /180, що відповідає 46°.

Тоді sin 46° = sin + ≈ 0,7071 + 0,7071 ∙ 0,0175 ≈ 0,7191.

Теорема 2 ( інваріантність форми диференціала ). Нехай = ( ) і
= ( ) – деякі диференційовані функції зазначених аргументів такі, що з

них можна утворити складену функцію = ( ) . Диференціал
складеної функції визначається рівність = ′ . Тобто, форма

диференціала функції не залежить від того, є аргумент незалежною
змінною чи функцією іншого аргументу.

Якщо розглядати як функцію незалежною змінної , то її диференціал
визначається рівністю = ′ ∙ . Підставивши в цю рівність замість

61