Page 60 - 6245

Знайдемо координати точки дотику ( ; ):

= = cos( /4) = √2 2;

= = sin( /4) = √2 2;

Тоді рівняння дотичної − = ∙ ( − );

− √2 2 = −1 ∙ − √2 2 ; = − + √2 .

6.6 Похідні вищих порядків.

Механічний зміст другої похідної

Нехай функція ℱ( ) диференційована на проміжку (a;b).

Похідна цієї функції ℱ′( ) є функцією аргументу . Візьмемо деяку

точку ∈ ( ; ). Дамо приріст аргументу ∆ = − і матимемо приріст

функції ℱ′( ) у точці :

∆ℱ′( ) = ℱ′( + ∆ ) − ℱ′( ) .

Розглянемо границю lim ∆ ⟶ (∆ℱ ( ) ∆ ) = ℱ′( ).

Якщо ця границя існує, то кажуть, що функція ℱ( ) має похідну другого

порядку (другу похідну) у точці . Її позначають = ℱ ( ),

або ℱ′( )/ , або ℱ ( ) .

Похідну ℱ′( ) називають похідною першого порядку (першою
похідною), а саму функцію ℱ′( ) вважають похідною нульового порядку
(нульовою похідною).

Отже, друга похідна – це похідна від першої похідної

= ( )′.

Аналогічно визначають похідні третього і наступних порядків:

( ) = ( ( ) )′.

Приклад 1. Знайти , якщо = .

Послідовно знайдемо , , ′′′:
56