Page 68 - 6245

Геометричний зміст. За умов, що вказані в теоремі
Лагранжа, на дузі існує хоча б одна точка, в якій
дотична паралельна хорді (рис.59)

Теорема Ролля випливає з теореми Лагранжа як
окремий випадок при ( ) = ( ), тобто коли хорда
паралельна осі

Теорема 3 (теорема Коші про відношення приростів двох функцій). Якщо f
(x) і φ (х) – дві функції, неперервні на відрізку [a;b] і диференційовані в усіх

його внутрішніх точках, при чому похідна φ ‘(х) ніде не обертається у нуль,
то на інтервалі (a;b) знайдеться принаймні одна така точка с , що
виконується рівність

(f (b) – f (a))/( φ(b) – φ(a)) = f ‘(c) / φ’(c).

Визначимо число Q рівністю (f(b)-f(a))/( φ(b)- φ(a))=Q, де φ(b)- φ(a) ≠ 0 .

Складемо допоміжну функцію

F (x)= f(x)-f(a)-Q(φ(x)- φ(a)). Очевидно, що F (a) = 0 і

F(b) = 0 . Тобто, функція F(x) задовільняє умовам теореми Ролля. Тому між a
i b є така точка с , що F ‘(c) = 0 . Але

F ‘(x)= f ‘(x)-Q φ’(x). Отже, F ‘(c)= f’(c) -Q φ’(c) = 0.

Звідси Q=f ‘(c) / φ ‘(c) або (f(b) – f(a)) /( φ(b) – φ(a))=

=f ‘(c) / φ ‘(c).

Теорема Коші є узагальненням теореми Лагранжа.

Правило Лопіталя розкриття невизначеностей

Теорема (правило Лопіталя розкриття невизначеності виду 0 0 ). Нехай
функції f(x) і φ(x) диференційовані в деякому околі точки а (а – число або
символ ∞, - ∞, + ∞), крім, можливо, самої точки а. Нехай lim →а ( ) = 0,

lim →а φ(x) = 0 i ‘(x)≠0 в кожній точці х вище вказаного

Околу а, х≠а. Тоді, якщо існує границя (скінченна чи нескін-ченна) відношення
похідних f ‘(x) φ ‘(x) при х→a , то існує і

границя відношення самих функцій f(x) φ‘(x) при x→a ,

64