Page 59 - 6245

б) ln = ln(2 − 1) ln (4 − ) − ln 2 − ln( + 3);
ln = 5 ln(2 − 1) + (2/3) ln(4 − ) −6 sin ∙ ln 2 − ln( + 3).

Візьмемо похідну від обох частин одержаної рівності

′
= (10/(2 − 1) − 2/(3(4 − )) − 6 ln 2 ∙ cos − 1 /( + 3)) ×

× (2 − 1) (4 − ) /(2 ( + 3)).

6.5. Похідна параметрично заданої функції

Теорема (похідна параметрично заданої функції). Нехай функцію
= ℱ( ) задано у параметричному вигляді: = ( ), x = ( ),

де t – параметр. Якщо функції ( ) і ( ) диференційовані на інтервалі ; і

функція ( ) має обернену, причому ( ) ≠ 0, то похідна функції = ℱ( )

знаходиться як відношення = ( )/ ( ) = / .

Функція ( ) має обернену функцію = ( ), їх похідні

зв’язані рівністю = 1/ . Звідки = 1 .

Підставивши = ( ) у друге параметричне рівняння, дістанемо явну
форму задання функції = ℱ( ) ∶ = ( ( )).
Обчислимо її похідну як похідну складеної функції

= ∙ . Тоді = ( ) ∙ (1 ) = ′( )/ ′( ) = / .

Зауваження. Похідна параметрично заданої функції також є

параметрично заданою функцією: = / ; = ( ).

Приклад. Знайти кут нахилу α дотичної до графіка функції
= , = sin , де 0 ≤ ≤ , у точці, яка відповідає значенню
параметра = /4. Скласти рівняння дотичної.

= ( sin ) /( cos ) = ( cos )/( sin ) = − ;

∘

Tg = = − ( /4) = −1. Звідси = 135 = 3 4.

55