Page 66 - 6245

похідної складеної функції ′ її вираз через ′ і ′ , дістанемо = ′ ∙

∙ . Але, з іншого боку, ′ ∙ = . Тоді = ′ ∙ .

Зауваження 2. Інваріантна (незмінна) саме форма диференціала, а не його
зміст. У формулі = ′ ∙ множник – не тільки диференціал, але і

приріст ∆ аргументу , якщо -незалежна змінна. Однак – диференціал
, але не приріст ∆ аргументу , якщо – у свою чергу функція деякої

змінної .

Диференціали вищих порядків. Нехай маємо функцію = ( ), де -

незалежна змінна. Диференціал цієї функції = ( ) ∙ є деякою
функцією , але від може залежати тільки перший множник ′( ), другий

множних є приростом незалежної змінної і від значення цієї змінної не
залежить. Оскільки є функція від , то маємо право говорити про
диференціал цієї функції.

Диференціал від диференціала функції називають другим диференціалом

(диференціалом другого порядку) цієї функції і позначають через :

= ( ) = ( ( ) ) = ( ( ) ) = ′′( )( ) .
Аналогічно визначається диференціал третього і наступних порядків.
Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від
диференціала (n-1) –го порядку:

= ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ∙ ∙

= ( ) ( ) ∙ ∙ = ( ) ( ) ∙

Зауваження 3. Диференціали другого і вищих порядків властивості
інваріантності форми не мають.

Користуючись поняттям диференціала, похідну другого і вищих порядків

можна подати як відношення диференціалів відповідного порядку = ,

… , ( ) = при умові, що – незалежна змінна.

6.8. Основні теореми диференціального числення

Теореми Ролля, Лагранжа, Коші.

Теорема 1 (теорема Ролля про корені похідної). Якщо функції ( )
неперервна на відізку [ ; ], диференційована в усіх внутрішніх точках цього
відрізка і на його кінцях приймає рівні значення ( ) = ( ), то на інтервалі

62