Page 56 - 6245

+ ∆ = log ( + ∆ ); ∆ = log ( + ∆ ) − log ;

∆ = log (1 + ∆ / ); ∆ /∆ = (1/∆ ) log (1 + ∆ / );

Помножимо і поділимо на вираз, який стоїть праворуч у останній
рівності: ∆ /∆ = (1/ )( /∆ ) log (1 + ∆ / ) =

= (1/ ) log (1 + ∆ / ) /∆ . Тоді

= lim ∆ /∆ = lim (1/ ) log (1 + ∆ / ) /∆ =

∆ → ∆ →
= (1/ ) log lim (1 + ∆ / ) /∆ = (1/ ) log = 1/ ( ∙ ln ).

∆ →

Теорема 4. Похідна від = arcsin є 1/√1 −

Оберненою функцією до функції = arcsin є функція = sin . За
теоремою про похідну оберненої функції маємо
(arcsin )′ = 1/(sin )′ = 1/cos = 1/(cos(arcsin )) .

Оскільки cos(arcsin ) = 1 − , то = 1/√1 − .
Теорема 5. Похідна від sh x є ch xЗа визначенням гіперболічних
функцій

ℎ = i ℎ = .

Похідна від функції є . Тоді маємо

− +

( ℎ ) = = = ℎ .
2 2
Приклад. Знайти похідні заданих функцій:

а) y = x sin 5x; б) y = x / cos 3x; в) y = e − ln(1 + x ) .

а) y = (x sin 5x) = (x ) sin 5x + x (sin 5x) = 2x sin 5x + 5x cos 5x

б) y = (x /cos 3x) = (x ) cos 3x − (cos 3x) :

: cos 3x = (4x cos 3x + 3 sin 3x ∙ x ) cos 3x =

= x (4cos3x + 3xsin3x)cos 3x

в) y = e − ln(1 + x ) = (e
) − ln(1 + x ) =

= e ∙ (arctgx) − (ln(1 + x )) =

( )
52