Page 55 - 6245

11 Арктангенс 1
(arctg )′ = ∙ ′
1 +

12 Арккотангенс 1
(arctg )′ = − ∙ ′
1 +

2. Додаткові формули

13 Показниково-степенева ( ) = ∙ + ln ∙ ′
функція

14 Гіперболічний синус ( ℎ ) = ℎ ∙ ′

15 Гіперболічний косинус ( ℎ ) = ℎ ∙ ′
16 Гіперболічний тангенс 1

( ℎ ) = ∙ ′

ℎ
17 Гіперболічний котангенс 1

( ℎ ) = − ∙ ′

ℎ

Доведемо деякі наведені формули диференціювання.
Теорема 1. Похідна від sin x є cos x.

Дамо аргументу приріст ∆x. Тоді
+ ∆ = sin( + ∆ ), = sin
+ ∆ − ∆
∆ = sin( + ∆ ) − sin = 2 sin ∙ cos + .
2 2

Розділимо на ∆ :
∆ /∆ = (2 sin (∆ /2) ∙ ( + ∆ /2))/∆ .
Знайдемо границю

= lim ∆ /∆ = lim ∆ → sin (∆x/2)/(∆x/2) × lim cos ( + ∆ /2).
∆ → ∆ →
Але lim ∆ → (sin (∆x/2)/(∆x/2))=1, тому

= lim ∆ → cos ( + ∆ /2) = cos . Остання рівність випливає з
неперервності функції cos

Теорема 2. Похідна від tg x є 1/cos . Похідну функції

= = sin / cos можна знайти за

правилом диференціювання дробу

′ = ((sin )′/ cos − (cos )′ sin ) cos =

= (cos + sin )/ cos .
Теорема 3. Похідна від функції log є 1/( ∙ ln ).

 Якщо ∆ є приріст функції = log , який відповідає приросту

аргументу , то

51