Page 36 - 6245

Якщо функція ( ) неперервна в кожній внутрішній точці відрізка

[ ; ] і відповідно односторонньо неперервна на його кінцях, то вона

називається неперервною на відрізку [ ; ] .

5.4. Властивості функцій, неперервних на відрізку

Ці властивості будуть сформульовані у вигляді теорем (подаємо без

доведення).

Теорема 1 (про обмеженість функції та існування найменшого та

найбільшого значень). Якщо функція ( )

неперервна на відрізку [ ; ] , то вона
y
обмежена на цьому відрізку і серед її

значень існує найменше m= ( ) та

= ( )
найбільше
M
m
=

( ), де ∈ [ ; ] і ∈ [ ; ]

0 1 x
(рис. 50).

Зауваження. Твердження теореми може бути

невірним. якщо розглядати ( ) на інтервалі [ ; ].

Теорема 2 (про перетворення функції на нуль). Нехай функція ( )

неперервна на відрізку [ ; ] і на його кінцях має значення різних знаків

( ) ∙ ( ) < 0. Тоді на інтервалі ( ; )

знайдеться хоча б одна точка x=d
y
така, що ( ) = 0 (рис. 51).
= ( ) Теорема 3 (про проміжне значення).

Нехай функція ( ) неперервна на
( )
відрізку [ ; ] і на його кінцях приймає

різні значення ( )

для будь-якого числа µ, що міститься
x 32 між числами ( ) і

інтервалі ( ; ) знайдеться хоча б одна
a Ф 0 d b
точка x=c така, що (