Page 34 - 6245

неперервна,якщо нескінченно малому приросту аргументу відповідає
нескінченно малий приріст функції.

Якщо функція f (x ) неперервна у кожній точці деякого інтервалу (a;b),то вона

називається неперервною на цьому інтервалі.

Приклад.Довести,що функція y sin x неперервна у довільній точці x0 області
визначення D(f)=R.

 y  sin(x   ) x  sin x  2 sin( ) 2 / x cos(x   ) 2 / x .Оскільки lim sin(x ) 2 /  0 ,а
0 0 0
x  0
велечина cos(x   ) 2 / x обмежена ,то lim y 0  0
0

x
5.2.Властивості функцій, які неперервні в точці
Спираючись на властивості границь,можна встановити наступне:

1)Якщо функції f 1 (x )if 2 (x ) неперервні у точці x0 ,то функції

g (x )  f (x )  f (x ),h (x )  f (x * ) f (x ) q (x )  f (x / ) f (x )( f (x )  ) 0
1 2 1 2 і 1 2 2 ,також неперервні у
точціx0.

2)Якщо функція u  (x ) неперервна у точці x0 ,а функція f (u ) неперервна у
)
точці u   (x 0 ,то й складена функція ( f  (x )) неперервна у точці x0.
0
3)Якщо функція f (x ) неперервна у точці x0 і має обернену функцію x  f  1 ( ) y в

деякому околі точки x0,то обернена функція x  f  1 ( ) y неперервна в точці
)
y  f (x 0
0
4)Якщо функція f (x ) неперервна у точці x0 і відмінна від нуля f (x 0 )  0 ,то
існує такий окіл цієї точки x0,що для всіх х з указаного околу функція f(x) не
)
обертається в нульі має знак,який збігається зі знаком f (x 0 .

Неперервність функцій використовується при обчисленні границь.З
наведених властивостей випливають такі важливі наслідки:

1)Заміна змінної

2)Границя показниково-степеневої функції

lim(u (x )) ( v ) x  (lim u (x )) limv ( ) x
x 0 x x 0 x

3)Усі елементарні функції є неперервними у кожній точці своєї
природної області визначення.

5.3.Односторонні границі.Одностороння неперервність

30