Page 33 - 6245

Малюнок 49

Теорема.Нехай функція y f ) (x визначена і строго зростаюча(строго спадна)на

відрізку[a;b].Тоді обернена функція y  f 1  (x ) визначена і строго
зростаюча(строго спадна)на відрізку [ f (a ); f (b )]([ f (b ); f (a )]) .(Без доведення).

5. Неперервність функції

З поняттям границі тісно пов’язане інше важливе поняття математичного
аналізу-неперервність функції.

5.1.Приріст аргументу та приріст функції.

Поняття неперервності функції в точці

Нехай функції y f ) (x визначена в деякому околіточки x0 і x-довільна точка з
цього околу,відмінна від x0.Різницю  x  x x 0називають

приростомнезалежної змінної(приростом аргументу).Відповідну різницю
 y  f (x )  f (x 0 називають приростом функції.
)

).
Тоді x x  ; x   y  f (x   ) x  f (x 0
0
0
Зауваження.Приріст функції y  залежить як від вибору точки x0 ,так і від
вибору приросту аргументу  x .Нехай функція y f ) (x визначена в деякому

околіточки x0 .Функція y f ) (x називається неперервною в точці x0 ,якщо в цій
lim f (x )  f (x )
точці виконуються рівність x  x 0 o

Сформульоване означення неперервності накладає на функцію f ( ) x такі
умови:1)функція визначена в деякому околі точки x0 ,влючаючи і саму точку
)
x0 x,тобто існує число f (x 0 ;2)існує x lim f 0 (x )
x

-границя функції в точці x0 ;3)границя функції в точці x0 дорівнює значенню
функції в цій точці.

Оскільки x0  lim x ,то для неперервної в точці x0 функції маємо
x  x
0
) x
x lim x f (x )  f (lim x ,тобто знак границі lim і знак неперервної функції f можна

0 x 
0
міняти місцями.Іншими словами ,щоб обчислити границю неперервної
функції,треба у її вираз замість аргументу підставити його границю.
)
)
У рівності lim f (x )  f (x 0 перенесемо f (x 0 ліворуч та уведемо під знак границі

x
x
0
як сталу.Тоді отримаємо lim( f (x )  f (x 0 ))  0 ,звідки lim y  0 ,тобто функція
x  x  0
0 x  0
29