Page 35 - 6245

Границі функції f (x ) в точці x0 при додатковій умові,щох залишається
меншим x0 і позначається
x  x
0
lim f (x ) або lim f (x )
x  x 0 , x  x 0 x  x 0  0
Аналогічно визначається права границя функції f (x ) в точці x0:

lim f (x ) або lim f (x )
x  x 0 , x  x 0 x  x 0  0
Ліва і права границі називаються односторонніми границями.

Теорема.Для того,щоб функція f (x ) в точці x0 мала границю,яка дорівнює
А,необхідно і достатньо,щоб існували обидві односторонні границі в цій

точці,кожна з яких такождорівнює А:

lim f ( x ) A 
 lim f ( x ) A
x x 0  0
(Без доведення) lim f ( x ) A  x 0 x
x x 0  0
Нехай функція f (x ) визначена на півінтервалі (а;x0],а<x0;.Функція f (x )
неперервна у точці x0 зліва,якщо

)
lim f (x )  f (x 0

Аналогічно,функція f (x ) ,визначена напівінтервалі [ x ; b], x  b ,неперервна у
0
0
0 
x
x
0
точці x0 справа,якщо
lim ⟶ ( ) = ( ).

Загальна назва для функції, неперервної зліва чи справа,
односторонньо неперервна.

Якщо функція ( ) визначена на інтервалі (a;b) і точка ∈ (a;b),

то для неперервності функції у точці необхідно і достатньо, щоб функція

( ) була неперервна зліва і справа у точці . Іншими словами, функція

( ), яка визначена в деякому околі точки , неперервна в точці

, якщо обидві її односторонні границі дорівнюють значенню функції в цій

точці

lim ( ) = lim ( ) = ( )

→ →

31