Page 14 - 6245

таке число δ(ε) > 0, що для всіх (a;b),x ≠ x0 і таких, що x− x0< δ, виконується нерівність
f(x) −A <ε.

Позначення: lim → ( ) =

або

f(x) →A , x→x0

Нехай x0 — внутрішня точка проміжку(a;b). Функція y =f(x) називається нескінченно
малою в точ-

ці x0, якщо для будь-якого числа ε > 0 існує число δ > 0 таке, що для всіх xє (a;b) (x ≠x0 ),
які задовольняють нерівність x−x0 < δ, виконується нерівністьf(x) < ε.

Теорема 1. Сума (різниця) двох нескінченно малих функцій в даній точці є нескінченно
малою функцією в даній точці.

Функція y =f(x) називається о б м е ж е н о ю на проміжку (a;b) , якщо існує таке число M
> 0 , що для всіх значень x із цього проміжку виконується нерівність f(x) <M.

Теорема 2. Добуток нескінченно малої функції та обмеженої функції є функцією
нескінченно малою в даній точці.

Теорема 3. Щоб функція y =f(x) у точці x0 є (a;b) мала границею числоA, необхідно і
достатньо, щоб різниця f(x) −A була нескінченно малою функцією в цій точці.

Можна ввести означення, еквівалентне даному раніше.

Число A називається границею функції y =f(x) в точці x0 є (a;b), якщо різниця між цією
функцією та числом A є нескінченно малою функцією в цій точці.

Приклад 1. Знайти границю

→ ( )
lim → ∙ lim → = =

→ ( )

→ → → = ( → ) → = ( ) ∙ = ∙ ∎

→ → ( → ) ∙
Спираючись на розв’язаний приклад, сформулюємо наступне правило:
Границю раціонального дробу ( ) ( ), де ( ) і ( ) – многочлени,
можна обчислити шляхом прямої підстановки замість його граничного значення,
якщо при цьому не порушуються умови, вказані у властивостях границь.

10