Page 17 - 6245
P. 17
Зауваження. Згідно з означенням границі поведінка змінної величини у початковий
період процесу змінювання ніяким чином не впливає на розв’язання питання про
границю.
3.5. Перша стандартна границя. Розкриття невизначеності виду 0/ 0 для
тригонометричних виразів
При обчисленні границь конкретних змінних величин часто використовуються уже
відомі стандартні границі.
Теорема 1 (перша стандартна границя). Границя відношення синуса нескінченно
малої величини до самої цієї величини існує і дорівнює одиниці:
0
lim = = 1
→ 0
□ Функція – парна, тому можна обмежитись тільки додатними значеннями α.
А оскільки α→0, то можна обмежитися тільки значеннями α із першої чверті 0 < α < π 2.
Розглянемо коло радіуса R з центром у початку
y C координат (рис. 28). Порівнюючи площі трьох
вкладених одна в одну фігур, отримаємо:
R B
α
S △ < сектора < △ ;
O x
A
R sinα < R α < R tgα; sinα < α < tgα (*);
1 < < ; 1 < < ; cosα < < 1 (**).
З нерівності (*) і умови 0 < < 1 випливає
0 < = 1 − = 2 = 2 ∗ < 2 <
2 2 2 2
< 2 ∗ < 2 ∗ =
2 2
Оскільки lim → = 0 i lim → 0 = 0, то за теоремою про стиснену змінну
lim = lim = lim 0 = 0
→ → →
13
