Page 11 - 6245

Зауваження 1. Означення границі дано через поняття нескінченно малої
величини («мовою нескінченно малих»). Існують інші еквівалентні означення
границі.

Геометричний зміст: стала служить границею змінної величини , якщо
для будь-якого наперед заданого (скільки завгодно малого) додатного числа > 0

значення змінної величини у процесі змінювання потрапляють і надалі
залишаються в -околі точки :
∀ > 0, ∃ , ∀ > : ∈ ( ; ).

Зауваження 2. Якщо з контексту задачі не зрозуміло, в яких умовах
відбувається процес змінювання, то додаткову інформацію подають під знаком
границі або після нього. Наприклад: → при → ∞ (читається « прямує до

при , що прямує до ∞») або lim → → (читається «границя при , що

прямує до ∞, дорівнює »).
3.2 Властивості границь

Доведення основних властивостей границь ґрунтується на означенні границі
та властивостях нескінченно малих.
Теорема 1. Змінна величина в фіксованому процесі змінювання має не більше

однієї границі.
Доведення методом від супротивного.
→
→ ⇒ − = → 0 ⇒ − + = − → 0;

≠ − = → 0

− = − → 0 ⇒ − = 0 ⇒ = ,

− =

що суперечить припущенню ≠ .

Зауваження 1. Змінна величина може не мати границі в даному процесі

змінювання. Змінна величина може вести себе по-різному в різних процесах
змінювання.

Теорема 2. Змінна величина, що має скінченну границю, є обмеженою у

відповідному процесі змінювання.

lim = ⇒ ∃ > 0, ∀ : | | ≤ .

(Без доведення).

Теорема 3. Границя сталої величини дорівнює самій цій величині:

= ⇒ lim = .

7