Page 13 - 6245

−
= → 0 ⇒ lim = .
( + )

Теорема 7. Границя невід’ємної змінної величини також невід’ємна.
Аналогічно, границя недодатної змінної величини також недодатна:

≥ 0 ⇒ lim ≥ 0; ≤ 0 ⇒ lim ≤ 0.

Доведемо першу частину теореми методом від супротивного.

≥ 0
lim = < 0; ⇒ − > − = > 0 ⇒;
< 0

⇒ lim( − ) ≠ 0,

що суперечить припущенню lim = .

Доведення другої частини аналогічно.

Зауваження 2. Якщо змінна величина додатна > 0, то гарантувати строгу

нерівність для границі lim > 0 у загальному випадку не можна. Те саме
справедливе і для від’ємної змінної величини. Наприклад:

= 1 > 0; lim = lim(1 ) = 0.

Теорема 8(про стабілізацію знака нерівності). Якщо границя змінної величини
додатна, то починаючи з деякого моменту процесу змінювання всі її наступні
значення також додатні:

lim > 0 ⇒ ∃ , ∀ > : > 0.

Аналогічно, якщо границя змінної величини від’ємна, то починаючи з деякого
моменту процесу змінювання всі її наступні значення також від’ємні:

lim < 0 ⇒ ∃ , ∀ > : < 0. (Без доведення).

(Без доведення).

Границя функції .Нехай функція y =f(x) визначена на проміжку хє (a;b) (можливо, що
x ≠ x0). Число A називається границею функції y =f(x) у точці x0,якщо для будь-якого
числа ε > 0 існує

9