Page 6 - 6245

Змінна величина називається обмеженою, якщо всі її значення за модулем
не перевищують деякого додатного числа протягом всього процесу змінювання:

∃ > 0, ∀ : | | ≤ .
У противному випадку змінна величина називається необмеженою.
Точніше, змінна величина називається необмеженою, якщо для довільного

додатного числа знайдеться хоча б одне значення , яке за модулем перевищує
це число :
∀ > 0, ∃ : | | > .

Наприклад:
а) Змінна величина = 1000 , ∈ є обмеженою, оскільки існує таке

число > 0, що для всіх значень виконується нерівність ≤ , ∈ .

Зокрема, можна взяти = 2000, оскільки
= 1000 = 1000 ≤ 2000, ∈ .

б) Змінна величина = (−1) , ∈ є необмеженою, оскільки для будь-

якого числа > 0 можна знайти хоча б одне значення , для якого виконується

нерівність > . Зокрема, якщо взяти = 1000, то

= (−1) ∙ 100 = 10000 > 1000.

Змінна величина називається зростаючою, якщо в процесі змінювання

її значення не зменшуються, тобто кожне наступне значення неменше
попереднього. Позначається ↑.

Змінна величина називається спадною, якщо в процесі змінювання її
значення не збільшуються, тобто кожне наступне значення не більше
попереднього. Позначається ↓.

Зростаючі та спадні змінні величини називаються монотонними.

Монотонна величина називається строго монотонною, якщо її значення

задовольняють відповідну строгу нерівність.

Наприклад:

а) Змінна величина = 2 , ∈ є строго зростаючою

= 2 ↑, оскільки = 2 > = 2 , ∈ .

б) Змінна величина = (1 / 2) , ∈ є строго спадною

= (1/ 2 ) ↓, оскільки = (1 / 2) < = (1/ 2) , ∈ .

в) Змінна величина = (−2) , ∈ є немонотонною,оскільки, зокрема,

= (−2) ≤ = (−2) ; = (−2) ≥ = (−2) .

2