Page 7 - 6245

г) Площа S-правильного вписаного в коло многокутника при подвоєнні його
сторін є монотонно зростаючою величиною.

Підкреслимо, що величини з пунктів б) і г) є обмеженими, а величини з пунктів а) і
в) – необмежені.

2. Нескінченно малі та нескінченно великі величини

2.1 Нескінченно малі величини

Змінна величина називається нескінченно малою, якщо в процесі
змінювання її значення за модулем стають і надалі залишаються меншими будь-

якого фіксованого додатного числа .
Іншими словами, змінна величина називається нескінченно малою, якщо
для будь-якого наперед заданого (скільки завгодно малого) додатного числа > 0

знайдеться такий момент процесу змінювання, що у всіх наступні моменти

> значення змінної величини за модулем менші цього числа :

∀ε> 0, ∃ , ∀ > : | | < .

Нескінченно малі величини позначаються звичайно малими буквами
грецького алфавіту , , … .
Те, що змінна величина є нескінченно малою, позначається так: → 0

(читається « прямує до 0») або lim = 0 (від латинського слова «limes» -
«границя», читається «границя дорівнює 0»).
Наприклад:

а) = 1000 → 0. Зокрема, якщо = 0,01 , то нерівність | | <

⇔ |10000 | < 0,01 виконується для всіх > = 1000.

б) Змінні величини = 1 + (−1) і = не є нескінченно малими.

Зауваження. Нуль 0 – це єдина стала величина, що є нескінченно малою.
Геометричний зміст: змінна величина є нескінченно малою, якщо для будь-
якого наперед заданого (скільки завгодно малого) додатного числа > 0 її

значення в процесі змінювання потрапляють і надалі залишаються в -околі точки
нуль:

∀ > 0, ∃ : ∈ (0; ).

2.2 Властивості нескінченно малих величин
Доведення основних властивостей нескінченно малих величин ґрунтується
на їх означенні та властивостях модуля.

Теорема 1. Нескінченно мала величина є обмеженою:

→ 0 ⇒ ∃ > 0: | | ≤ .
(Без доведення).

Теорема 2. Сума (різниця) двох нескінченно малих величин також є
нескінченно малою величиною:

3