Page 91 - 5637

1 1

= [( − ) ( − )] + ( + ) , (5.5)

2 2

де , ( ) і ( ) – незаперечно і позитивно певні матриці, множник 1/2 введено для

зручності. Надалі без обмеження спільності можна вважати, що ( ) = 0.

Співвідношення для оптимального управління системи (5.4) з критерієм (5.5)
можна вивести аналогічно викладеному в розділі 4:

/ = 0, (5.6)

̇

= − / , (5.7)
( ) = ( ). (5.8)

Тут – гамільтоніан системи:
1 1

= + + ( + ), (5.9)
2 2
підставляючи вираз (5.9) в співвідношення (5.6), (5.7), отримуємо:
( ) = −
( ), (5.10)
де визначається з рішення лінійної двухточковії крайової задачі:

̇
= , (5.11)
̇

в якій початкове ( ) і кінцеве ( ) = ( ) значення задані;

−
= . (5.12)
− −
Для розв'язання системи (5.11) також можна скористатися методами, викладені в

розділі 4, тобто знаходити перехідні матриці (матриці фундаментальних розв’язків)

системи (5.11)

( ) = ( ) ( ); (5.13)

( ) = ( ) ( ). (5.14)

Із співвідношень (5.13), (5.14) маємо:

( ) = ( )[ ] ( );

( ) = ( )[ ] ( ).

Тому формула для оптимального управління зі зворотним зв'язком буде:

( ) = − ( , ) ( )

( , ) = [ ( )] ( ) ( )[ ( )] . (5.15)

де ( , ) – матриця коефіцієнтів підсилення.