Page 53 - 5637

Розглянемо стаціонарну динамічну систему з вхідним ( ) і вихідним вих ( )
вх
сигналами і ваговій функцією ℎ( ) ( ∈ ). Співвідношення між вхідним і вихідним

сигналами:

вих ( ) = ℎ( − ) ( ) = ℎ( ) ( − ) (3.52)
вх
вх

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3.4. Припустимо, що лінійна динамічна система з безперервним часом і

ваговій функцією ℎ( ) асимптотично стійка, а вхідний сигнал ( ) – випадковий
вх
процес другого порядку з математичним сподіванням вх ( ) і безперервної

коваріаційної функцією ( , ). Тоді інтеграл (3.52) існує в сенсі Рімана, а вихідний

вх
сигнал вих ( ) є випадковий процес з математичним очікуванням:

вх ( ) = ℎ( ) вх ( − ) , (3.53)

з коваріаційною функцією:

вих ( , ) = ℎ( ′)ℎ( ′′) ( − ′, − ′′) ′ ′′. (3.54)

вх

Взаємна коваріаційна функція вхідного і вихідного сигналів:

( , ) = ℎ( ) ( , − ) . (3.55)

вх
вх вих

Якщо обмежитися розглядом стаціонарних у широкому сенсі вхідних процесів,
то:

вх ( ) = вх = const; ( , ) = ( − )

вх
вх
і висновки теореми 3.4 можна істотно підсилити. А саме справедлива наступна
теорема.

Теорема 3.5. Нехай асимптотично стійка лінійна динамічна система має

передавальну функцію:

( ) = exp(− )ℎ( )