Page 48 - 5637

2.2. Статистичний аналіз динамічних систем з дискретним

часом

Припустимо, що динамічна система з дискретним часом описується лінійними

рівняннями. Більша частина завдань оптимізації параметрів динамічних систем

управління заснована на оцінці критерію ефективності системи. В інженерній практиці

найбільш часто ефективність функціонування системи характеризується деяким

функціоналом ( вих , вих ) від середніх значень функцій втрат, які представляють

собою лінійну і квадратичну функції щодо змінних стану системи – математичного

очікування вих і дисперсії вих вихідного сигналу системи. Таким чином, завдання

полягає в описі стохастичних властивостей вихідного сигналу.

Приймемо (це не обмежує спільності [11, 14]), що розглянута система стаціонарна

має тільки один вхід і один вихід. Припустимо також, що вхідний сигнал –
вх
випадковий процес другого порядку із заданою функцією математичного сподівання

вх і коваріаційною функцією ( , ). Співвідношення між вхідним і вихідним
вх

вх
вих сигналами:

( ) = ℎ( − ) ( ) = ℎ( ) ( − ) (3.34)
вх
вх
вх

Тут ℎ( ) – вагова функція системи (ℎ ( ) = 0 при < 0). Справедлива наступна

теорема.

Теорема 3.1. Нехай вхідний сигнал асимптотично стійкою динамічної системи
вх
з дискретним часом – випадковий процес другого порядку з математичним

очікуванням вх ( ) і коваріаційною функцією ( , ). Тоді вихідний сигнал вих ( )

вх
– випадковий процес другого порядку з математичним очікуванням і коваріаційною

функцією:

вих ( ) = ℎ( ) вх ( − ) (3.35)

вих ( , ) = ℎ( ) ℎ( ) ( − , − ) (3.36)

вх

Взаємна коваріаційна функція вхідного і вихідного сигналу: