Page 44 - 5637

( ( ), ) ( ) = lim { ( ), } [ ( + 1) − ( )],

де ( = 1, . . . , ) – розбиття відрізка [ , ], а межа береться в середньо-

квадратичному при Δ = − → 0. В цьому випадку математичне

сподівання ( )

( ) = ( ) + ( ( ), ) ,

а умовне математичне сподівання і коваріація:

[ ( + ℎ) − ( )| ( )] = ( , ) ℎ + (ℎ),

Cov[ ( + ℎ) − ( )| ( )] = ( , ) ( , )ℎ + (ℎ),
(тут о(ℎ) – символ нескінченно малої величини вищого порядку в порівнянні з

ℎ: (ℎ)/ℎ → 0 при ℎ → 0).

Нехай функція ( , ) безперервно диференціююча по і двічі безперервно

диференціюючи по , де задовольняє рівнянню (3.14). Тоді ( , ) задовольняє

наступне диференціальне рівняння:

1
= + + =

2

, ,

1
= + + + ( ) (3.16)

2

, ,
де σ – елементи матриці (х, ); ( ) – -й елемент вектора ( ).Співвідношення

(3.16) дозволяє проводити операції з функціями від рішення стохастичного
диференціального рівняння.

Розглянемо окремий випадок рівняння (3.14) – лінійне векторне стохастичне

диференціальне рівняння:

= ( ) + . (3.17)

Тут = ( ) – -мірний вектор; А = А( ) – квадратна матриця розміру × ;

{ ( ), ∈ } – -мірний винеровський процес з коваріацій збільшень

Припустимо, що початкове значення ( ) – гауссівська випадкова величина з