Page 41 - 5637

РОЗДІЛ 3

СТАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

УПРАВЛІННЯ

3.1. Моделі динамічних систем управління та випадкових вхідних сигналів

Основним інструментом при дослідженні складних систем управління

використовуються методи математичного моделювання. Зазвичай при описі

функціонування досліджуваної системи в просторі станів (фазовому просторі)

використовується система диференціальних рівнянь виду:
( ) = [ ( ), ( ), ( ), ]
(3.1)
( ) = С [ ( ), ( ), ( ), ]

де ( ) – вектор станів системи розмірності ; ( ) – вектор керуючого сигналу

розмірності ; ( ) – вектор спостережуваних вихідних сигналів розмірності n3;

( ), ( ) – вектор шумів систем і похибок вимірювань і відповідно;

– скалярний параметр часу, що приймає значення з якого-небудь (мабуть,

невласного) інтервалу = [ , ].

Для лінійної системи рівняння (3.1) істотно спрощуються:

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ),
(3.2)
( ) = С( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( )

Тут ( ), ( ), ( ), С( ), ( ), ( ) – матриці з коефіцієнтами, залежними (можливо)

від часу . При описі функціонування фізичних систем основні труднощі виникають

при спробах коректного обліку впливу випадкових складових ( ), ( ) в рівняннях

(3.2).

Аналіз детермінованої лінійної системи (3.2) (тобто при нульових матрицях ( ),

( ) досить простий. Зокрема, ( ) можна представити в явному вигляді:

( ) = ( , ) ( ) + ( , ) ( ) ( ) , (3.3)

де ( , ) – перехідна матриця, яка задовольняє таким співвідношенням:

( , ) = ( ) ( , ), (3.4)

( , ) = − ( ) ( , )(спряжене рівняння), (3.5)

( , ) = [ ( , )] = ( , ), ( , ), ( , ), ( , ).