Page 31 - 5637

= ̅ + + (2.40)

Оскільки на керування не накладено ніяких обмежень, то максимум функції

( ̅, , ) визначається з умови

( ̅, , )

= 0

Враховуючи вираз (2.39) будемо мати

− ̅ + + = 0
звідси

= + ( − ̅) (2.41)
Якщо в (2.32) підставити одержане значення , то одержимо систему рівнянь
̅

= ̅ + ( − ̅), ̅(0) = ̅ ( ) (2.42)

= ̅ + − (2.43)

Із (2.41) випливає, що буде функцією змінних стану об’єкта, якщо вибрати в
такій формі:

= − ( ) ̅, (2.44)

де ( ) – симетрична (поки що невідома) додатньовизначена матриця розміром × .

Продифереціюємо праву і ліву частини рівняння (2.44)

( )
= − ( ) − ̅

̅
В отримане рівняння замість підставимо його значення, яке визначається

правою частиною рівняння (2.42). Крім того врахуємо значення , яке визначається
співвідношенням (2.44). В результаті отримуємо

( )

= − ( ) ̅ + (− ( ) ̅ − ̅) − ̅ (2.45)

Тепер в праву частину рівняння (2.43) замість і підставимо їх значення, що
визначаються рівняннями (2.41) і (2.44), що приводить до такого результату:

= ̅ + (− ( ) ̅ − ̅) + ( ) ̅ (2.46)

В рівняннях (2.45) і (2.46) рівні ліві частини рівнянь, а це означає, що рівними
будуть і їх праві частини. Тобто