Page 188 - 5637

( )
( )
= , = 1, … , .
Для цього сформуємо лінійну (щодо невідомих коефіцієнтів ) систему рівнянь

( )
( )
= , = 1, … , .

Для розв'язання системи необхідно, щоб матриця відомих коефіцієнтів була

( )
неособлива, тобто щоб det = det ≠ 0. Так як цей детермінант
,
звертається в нуль на многовидах розмірності − 1, то вибір вузлів інтерполяції

можливий у принципі.

Фундаментальну систему многочленів ( ), … , ( ) можна отримати із

( )
системи, в якій коефіцієнти отримані з умови = , де – символ

Кронекара: = 1, якщо = , і = 0, якщо ≠ . При цьому явний вид

многочлена ( ) наступний:

( ) = ( )
̅ ,

а сам інтерполяційний многочлен записується у вигляді

( )
( ̅) = ̅ ( ̅).

Точність апроксимації в багатовимірному випадку визначається наступним чином:

| (⋅) − (⋅)| ≤ (1 + Λ ) ( ),

де ( ) = inf‖ − ‖; – безліч інтерполяційних статечних многочленів ⊂ [ ]
∈

( [ ] – безліч безперервних на функцій); Λ , – деяка константа (константа Лебега):

= max ∑ | ( )|. В цьому випадку, коли безліч , на якому проводиться

∈
апроксимація функціоналу (∙) – багатомірний інтервал,

{ ⋳ : ≤ ≤ }, (8.29)

де ∈ . Зазвичай безліч є багатовимірним кубом з центральною точкою :

= { ⋳ : − ≤ − ≤ + }, 1 ≤ ≤ , (8.30)

при цьому – натуральне число.