Page 193 - 5637

Якщо (∙) – опукла функція, то безліч – також опукле в Γ( ) (тобто розглядається

як підмножина простору Γ( )).

Позначимо через – найбільше (з найбільшим діаметром, або, що еквівалентно,

з найбільшим коефіцієнтом , що входять у визначення конуса) перетин конуса, що

містить цілочисельні точки , що задовольняють умові ( ) < ( ). Безліч (що є

проекцією безлічі з центром проеціювання ) з необхідними властивостями існує

принаймні для множин , містять сферичний елемент досить великого радіуса ,

проекція якого на цілочисельні перетину конуса містить цілочисельні точки.

(Критеріям існування цілочисельних точок в опуклих множинах евклідових просторів

присвячена [57].)

Таким чином, необхідна оцінка = ‖ − ‖ [визначається максимальною

відстанню від точки – до найбільш віддаленого цілочисельного елемента перерізу

, що може бути, в свою чергу, оцінено відстанню від – (центру симетрії Γ( )) до

кордону ; = + (∆ℎ ) , де – максимальний радіус еліптичного перерізу ;

∆ℎ – відстань від до , – (∆ℎ – визначається з умови пропорційності відносини

обсягів і – відстанню останніх від вершин конуса). Проведений аналіз можна

сформулювати у вигляді наступної теореми.

Теорема 8.3. Нехай (∙) – опукла функція на виконуються припущення 1, 2.
Тоді має місце наступна оцінка відстані між рішенням , генеруються АОДІМ на -й

ітерації, від оптимального :
‖ − ‖ ≤ + + ,

де – мінімальний радіус околиці ( , ) оптимального рішення супроводжує

⁄

безперервної завдання; = (2/ )[ ( ) − ( )] ; = ( + ∆ℎ ) .

Зазначена оцінка дозволяє оцінити необхідну кількість ітерацій алгоритму (і,
отже, необхідну кількість замірів значень функціонала (∙) для досягнення необхідної
точності обчислення дискретного оптимуму (∙). Зазначимо, що фігурують в оцінці
для значення ( ) можуть бути обчислені з допомогою алгоритму статистичної
оцінки екстремальних значень критерію.