Page 191 - 5637
P. 191
належать нутрощі конуса, обов'язково лежать на одному з цілочислових перетинів. Це,
в свою чергу, дозволяє генерувати цілочисельні точки конуса, просуваючись по
послідовно формується перетинах.
При оцінці ефективності запропонованого алгоритму, заснованого на обчисленні
функціоналу апроксимації поверхні (∙) і відповідного наближення градієнта ∇ ( ) з
подальшим лінійним пошуком поліпшення ( ) на цілочисельних точках конуса
( ) з вершиною в , пропонується підхід, пов'язаний з використанням
апроксимуючої завдання безперервного програмування для аналізу швидкості
збіжності ( ) → min (задача називається супроводжує).
∈
При цьому генерується деяка послідовність точок ( ≥ 0), задовольняє
співвідношенням
= + ℎ , (8.31)
−〈∇ ( ), ℎ〉 ≥ ‖∇ ( )‖ ‖ℎ ‖, (8.32)
де ≥ 0; ℎ = −∇ ( ); > 0 а – найменше позитивне , для якого
( + ℎ ) = min ( + ℎ ). (8.33)
Припущення 1. Функція (∙) як функція безперервного аргументу ∈ двічі
безперервно дифференцируема і в околиці точки оптимуму , що реалізує
локальний мінімум, строго опукла, тобто якщо для будь-яких , ∈ : ≠ і будь-
якого ∈ (0, 1):
( + (1 − ) ) < ( ) + (1 − ) ( ).
При цьому припущенні для всіх ∈ , для яких ‖ − ‖ < ( > 0), існують ,
: 0 < < , для яких
( )
‖ ‖ ≤ 〈 , 〉 ≤ ‖ ‖ . (8.34)
Тут 〈 ∙,∙ 〉 – символ скалярного твори елементів простору . Зажадаємо виконання
співвідношення (8.33) в досить великій області, яка містить точку оптимуму .
При використанні алгоритмів мінімізації (∙) мають місце оцінки [16]
2
‖ − ‖ ≤ [ ( ) − ( )] (8.35)
де коефіцієнт ( > 0) підраховується по формулою = 1 − ( / ) ; ∈ (0, 1) –
показник зростання скалярного твору.
З співвідношень (8.34) – (8.36) можна отримати
