Page 185 - 5637

Тоді АТ ДІМ з максимальним радіусом пошуку ≤ , початковою точкою ,

такий, що min ( , ) ≤ (тобто віддалений від не далі ніж на ), що використовує

⋳
в якості штрафної функції Θ ( ) = ( ), сходиться до вирішення задачі (8.16), (8.22).

Доказ. Для довільної цілочисельної початкової точки ∈ розглянемо безліч

– сукупність допустимих значень аргументу, значення в яких не більше ( ):

= { : ( ) ≤ ( )}. Нехай = { , … , , … }. Можна показати, що

целочисленной опукло. Дійсно, нехай , , такі, що ∈ ( = 1, 2, 3) і

= + ( , > 0, + = 1). Тоді з визначення опуклої, функції одержимо

( ) = ( + ) ≤ ( ) + ( ) ≤ .

Звідси випливає, що ( , ) обов'язково має непорожнє перетин з . Отже,

АОДІМ покращує значення ( ) (якщо воно не оптимально) за допомогою одного з

умов пп.1-5 (принаймні за допомогою п.5), що, беручи до уваги умови 1,2 теореми, і
доводить твердження.
Зауважимо, що при доведенні теореми 8.1 ми не використовували припущення
про кінцівки безлічі .
Для дослідження ефективності функціонування АОДІМ в умовах нерегулярної
структури критерію уявімо за допомогою наступної моделі стохастичного

програмування. Припустимо, що нам доступно спостереження реалізацій випадкового

критерію ( ) = ( ) + ( ), де ( ) – детермінована цілочисельна опукла складова,

яку слід мінімізувати; ( ) – випадкова величина, задана на вимірному просторі

(Ω, , ).

Теорема 8.2. Припустимо, що випадкові величини ( ) ( ∈ ) незалежні

центровані і мають кінцеві моменти другого порядку ( ). Нехай АОДІМ, який

здійснює пошук мінімуму ( ), виносить рішення про вибір перспективного

подальшого пошуку під номером відповідно до п.1 алгоритму, який застосовується
п
з радіусом пошуку ( > 0).

Тоді АОДІМ, що виробляє мінімізацію реалізацій ( ), вибирає для подальшого

пошуку також октант під номером з імовірністю , що задовольняє наступного

п
нерівності:

≥ 1 − . (8.27)