Page 187 - 5637

обчислити апроксимує градієнт (∙) в і прийняти рішення про перспективному

напрямку пошуку. В рамках всієї процедури пошуку, що включає, як в АОДІМ, етапи

вибору перспективного напрямку та лінійного пошуку вздовж обраного напрямку,

здійснюється послідовний перебір точок в коридорі, навколишньому зазначений

напрямок. Основна ідея, таким чином, полягає у спробі застосування добре

розроблених в даний час методів інтерполяцій функцій багатьох змінних для

обчислення ( ) – функції деякої безперервної околиці . Це завдання є класичною,

і її рішенням присвячена велика кількість робіт [78, 80, 81].

Наприклад, коли область апроксимації замкнута в і відомо, що функція (∙)
безперервна ∈ ( ) , то для будь-якого > 0 існує многочлен ( ) змінних

= ( , … , ), що | (∙) − (∙)| ≤ в метриці, яка визначається соотношенієм

| − | = sup | ( ) − ( )|. Зазначений многочлен ( ) являє собою алгебраїчну

∈
форму

( ) = ̅ , (8.28)

де ̅ = , … , , , – мультиіндекси; = ( , … , ); = ( , … , ).

Відповідно − 1 = ( − 1, … , − 1) a нерівність 0 ≤ ≤ − 1 розуміється

покомпонентно: 0 ≤ ≤ − 1, де = 1, … , . Легко бачити, що поліном ( )

містить [ ( )] = × … × коефіцієнтів.

Сформульований результат являє собою добре відому в класичному аналізі
теорему Вейєрштрасса. Аналогічний результат має місце і для -мірного тора
× … × при апроксимації тригонометричними поліномами від змінних:

( ) = exp ̅ ,

| |

де ̅ = +. . . + _ і = . Зазначимо, що поліном ( ) має [ ( )] =

= (2 − 1) × … × (2 − 1) коефіцієнтів.

Розглянемо деяку область інтерполяції ⊆ ( ∈ ) функціонала (⋅),

( )
( )
заданого за допомогою точок ( ) , … , ( ) ( ) = , … , , = 1, … , – вузлів

інтерполяції. Знайдемо многочлен ( ) = ∑a (| | = +. . . + ), що співпадає з

| | ≤ в заданих вузлах інтерполяцій: