Page 101 - 5637

де , – невідхильні певні ( × )-матриці, – позитивно визначена ( × )-

матриця.

Якщо через ( , , ) позначити спільне рішення рівняння вільного руху тобто

рішення системи ̇ = ( , ) з початковою умовою ̇, = , то оптимальним (в сенсі

мінімуму критерію ) управлінням зі зворотним зв'язком буде управління:

опт = − ( , , ) [ ( , , ) − ( )] +
з

з
з

+ ( , , ) [ ( , , ) − ( )] . (5.52)

з
з

Практична реалізація цього закону управління залежить від можливості
отримання спільного рішення ( , , ) і, як правило, можлива лише для лінійних

систем. При вирішенні рівняння вільного руху пред'являються підвищені вимоги до
ЕОМ – забезпечити періодичні процедури чисельного інтегрування в реальному
часі. Зручні для практичного застосування модифікації алгоритму запропонував

А.А. Красовський [40].

Методика синтезу модифікованого регулятора створювалася в припущенні, що

інтервал оптимізації [ , ] не перевищує кількох десятків відсотків від періоду

короткоперіодичної складової руху системи. В цьому випадку при додатковому

виконанні звичайних припущень про достатню гладкості функції ( , , ) можна

приблизно визначити спільне рішення рівняння вільного руху. Розкладаючи функцію

загального рішення в ряд і обмежуючись трьома його членами, отримуємо:

( , , + ) = + + ( ) + ( ) + .
1! 2! 3!
( )
тут – залишковий член розкладання; (i ≥ 0) – символ оператора обчислення

похідних:

( ) = , ( ) = , ( ) = , …

Підставивши результат розкладання функції ( , , + ) у вираз (5.52) і

виконавши в ньому інтегрування по змінній , отримаємо формулу для

субоптимального управління.

Наведемо формули субоптимального "управління" в разі нетермінального ( = 0)

завдання, ковзного інтервалу оптимізації ( − = , – константа) і стаціонарної