Page 9 - 4974

u u
P  , yx  Q  , yx  0 . (1.13)
x y
Якщо остання рівність є тотожністю, то всяка крива із сім’ї  yxu ,  c буде

інтегральною кривою динамічної системи.
Для визначення векторного поля
V  P  , yx  i  Q  , yx  ,j (1.14)
необхідно розв’язати обернену задачу з визначення функцій  yxP ,  і  yxQ ,  в

системі диференціальних рівнянь (1.11). Ці функції задовольняють рівнянню
u  u 
P  , yx   Q  , yx  F  ,xu , y , (1.15)
x  y 
де на функцію  xuF ,  y , накладено обмеження – рівність нулю в точках кривої

u  , yx  0 , тобто
 ,0 F ,  0 . (1.16)
Умову (1.16) задовольняє функція вигляду
F  f  , yx   ,u (1.17)

де, зокрема,
n
a
  u  i  x i . (1.18)
 i 1
Але знаходження векторного поля за однією векторною лінією – задача
невизначена.
Нехай відомі дві криві, рівняння яких
 , yxu  0 , u  , yx  0 (1.19)
1 2
є незалежні функції , тобто
u 1 u 1

x y
  . 0 (1.20)
u u
2 2
x y
Виберемо дві функції uF 1 1 , x,  y і uF 2 2 , x,  y так, щоб виконувалась умова

(1.16) для кожної з них. У подальшому для скорочення запису у функціях
u 1  yx, , u 2  yx, , P  yx, , Q  yx, , F 1 u , x,  y і F 2 u , x,  y випущені
1
2
незалежні змінні. Запишемо їх відповідно у вигляді , uu 1 2 , P , Q , F і F
.
1
2
За аналогією з (1.15) отримуються рівності
u  u  u  u 
1 P  1 Q  F , 2 P  2 Q  F . (1.21)
x  y  1 x  y  2
Оскільки якобіан  0, то система рівнянь (1.21) має єдиний розв’язок
u  u  u  u 
P  2 F  1 F , Q   2 F  1 F , (1.22)
y  1 y  2 x  1 x  2

при цьому множник 1 включений у функції F і F , оскільки вони
 1 2
вибираються довільно з врахуванням тільки одного обмеження вигляду (1.16).

9