Page 5 - 4974

ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ
ПОВЕРХОНЬ

1.1 Поняття і визначення
У математиці під поверхнею розуміють неперервну множину точок, між
координатами яких може бути встановлена залежність, що визначається в
декартовій системі координат рівнянням виду F  , yx ,z  0 , де
F  yx ,, z   многочлен n-го степеня, або у формі будь-якої трансцендентної
функції. У першому випадку поверхні називають алгебраїчними, у другому –
трансцендентними.
Якщо алгебраїчна поверхня описується рівнянням n -го степеня, то
поверхня вважається n -го порядку. Довільно розташована січна площина

перетинає поверхню по кривій того ж порядку (деколи розпадається або уявна),
який має сама поверхня. Порядок поверхні може бути визначений також
кількістю точок її перетину з довільною прямою, яка не належить повністю
поверхні, рахуючи всі точки (дійсні або уявні).
У нарисній геометрії геометричні фігури задаються графічно, тому доцільно
розглядати поверхню як сукупність всіх послідовних положень деякої
просторової лінії, що переміщається у просторі. Утворення поверхні за
допомогою лінії дозволяє дати інше визначення поверхні, що базується на
основних елементарних геометричних поняттях, таких, як точка і множина.
Якщо прийняти, що положення рухомої в просторі лінії буде неперервно
змінюватися з плином часу t , який взяти за параметр, то поверхню можна
розглядати як неперервну однопараметричну множину ліній. У свою чергу,
лінія визначається як неперервна однопараметрична множина точок, тому
можна дати і таке визначення поверхні: поверхнею називається
двопараметрична множина точок.
Для отримання наочного зображення поверхні на кресленні закон
переміщення деякої лінії u доцільно задавати графічно у вигляді сукупності
i
ліній v і указань про характер переміщення лінії u , при цьому указання
j i
можуть бути задані також графічно, наприклад, за допомогою напрямної
поверхні  .
У процесі утворення поверхні лінії u можуть залишатися незмінними або
i
~
змінювати свою форму, бути прямими  u або кривими  u . Рухомі лінії u
i i i
~
називаються твірними, нерухомі лінії v (v j пряма, v j  крива) і поверхня
j
 напрямними.
Процес утворення поверхні можна легко з’ясувати на прикладі, що
~
показаний на рис. 1.1. Тут твірною взята плоска крива  u . Закон переміщення
i
~ ~ ~
кривої u заданий двома напрямними v і v та площиною  . При цьому
1
i
2
~
~
~
вважається, що твірна u ковзає по напрямних v і v , залишаючись
1
2
i
~
паралельною площині  , а точка A, що належить твірній u , переміщається по
i
~
кривій v . Описаний спосіб утворення поверхні називається кінематичним.
1
5