Page 12 - 4974

y 1 y 2 ... y n y
 y  y ...  y  y
1 2 n
 . 0 (1.30)
.......... .......... .......... .......... ....

  n   n   n n
y y ... y y
1 2 n
Множина інтегральних кривих рівняння (1.30) складає n -параметричну
множину ліній на площині
y  C  y  C  y  ... C  y . (1.31)
1 1 2 2 n n
4. Розглянемо ще один підхід, що базується на тому, що багато просторових
векторних полів представлено як прямі добутки плоских векторних полів –
проекцій на координатних площинах. Це справедливо також і для множин
інтегральних кривих у просторі. Такий підхід практично важливий, оскільки
теоретичні креслення, переважно, задаються своїми проекціями.
Розглянемо тривимірне векторне поле як прямий добуток двох плоских
векторних полів. Нехай криві u і u задані своїми проекціями на площині Oxy
1 2
 , yxu 1  0 , u 1  , yx  0 (1.32)
1 2
і на площині Oxz проекціями

2 2
 ,zxu  0 , u  ,zx  0 . (1.33)
1 2
Вважатимемо u і u векторними лініями і для розв’язування оберненої
1 2
задачі для диференціальних рівнянь визначимо тривимірне векторне поле як
прямий добуток векторних полів:
а) на площині Oxy

dx dy
 P 1  , yx ,  Q  , yx ; (1.34)
dt dt
б) на площині Oxz
dx dz
 P 2  , yx ,  R  , zx . (1.35)
dt dt
Праві частини отриманих динамічних систем диференціальних рівнянь
визначаються так, як і рівняння (1.23):
1
2
2
u  1 2  u  1  u  2  u  1 
P  F  F , P  F  F , (1.36)
1 1 2 2 1 2
y  y  z  z 
2
1
2
u  1 u  1  u  2  u  1 
2 
Q  F  F , R  F  F .
x  1 x  2 x  1 x  2

Тут функції uF 1 , x, y  uF,  1 , x, y  uF,   2 , x, z  uF,   2 , x,  z задовольняють на
1 1 2 2 1 1 2 2
відповідних кривих умови виду (1.16). Від вдалого вибору функцій F у значній
i
мірі залежить інтегрувальність динамічних систем (1.23) і (1.36).

12