Page 11 - 4974

 2 dy 1
 P   yx 1  Q   yx 1  R   x dx

 dy
P   yx 2 2  Q   yx 2  R   x 2 (1.27)

 dx
 2 dy 3
 P   yx 3  Q   yx 3  R   x .
 dx
При виконанні умови y  y  y її визначник Вандермонда
1 2 3
y 1 2 y 1 1

y 2 y 1
2 2
y 3 2 y 3 1

відмінний від нуля, тому із системи (1.27) коефіцієнти      xRxQxP , , рівняння
(1.26) визначаються однозначно, а, отже, однозначно визначається і сам вираз,
що описує шукане векторне поле.
Подальше збільшення числа векторних ліній, що задаються для побудови
векторного поля, можливе тільки для рівняння Дарбу
dy P  yx,   y R   yx, 
 , (1.28)
dx Q  yx,  x  R  yx, 
де P, Q, R  цілі многочлени відносно x і y .
Нехай n найвищий степінь цих многочленів. Якщо відомо s часткових

1
алгебраїчних розв’язків, то при  ns  n 1  2 загальний розв’язок рівняння
2
Дарбу визначається без квадратур. Якщо многочлени P, Q, R  однорідні
функції, то рівняння Дарбу зводиться до однорідного диференціального
рівняння, а в окремих випадках – до рівняння Бернуллі. Тут є можливість
побудови часткових видів рівняння Дарбу. Але це питання не розглядаємо.
3. Якщо кількість наперед заданих інтегральних кривих n  2, то для
побудови множини інтегральних кривих вигідно використовувати однорідні
лінійні диференціальні рівняння n -го порядку

y   n  p 1   yx  n  1  p 2   yx  n  2  ... p n   yx  . 0 (1.29)
Нехай нам відома система y , y ,..., y функцій від x , що мають неперервні
n
1
2
похідні до порядку n включно, визначник Вронського яких
y y ... y
1 2 n
 y  y ...  y
1 2 n
W   x  . 0
.......... .......... .......... ......

y  n  1 y  n  1 ... y  n  1
1 2 n
Ця система функцій може бути прийнята за фундаментальну систему
розв’язків рівняння (1.29), яке матиме вигляд

11