Page 10 - 4974

Цим самим вирішена обернена задача з визначення правих частин системи
(1.11):

dx u  u  dy u  u 
 2 F  1 F ,   2 F  1 F . (1.23)
dt y  1 y  2 dt x  1 x  2
Отже, за двома відомими кривими (1.19), що прийняті за інтегральні,
визначена динамічна система диференціальних рівнянь, яка описує поле
вектора (1.14). Але вона знайдена з точністю до деяких двох функцій F і F .
2
1
Якщо необхідно виключити особливі точки, то при побудові векторного
поля розв’язуванням оберненої задачі для динамічної системи рівнянь
необхідно вибрати функції u і u так, щоб вони задовольняли
1
2
співвідношенням
2 2
 u   u 
 1    1   0 на u 1  , 0


 x   y 
2 2
 u   u 
 2    2   0 на u 2  0.


 x   y 
Це накладає такі обмеження на функції F і F :
1 2
 ,xuF , y  0 на u  , 0 (1.24)
2 2 1
 ,xuF , y  0 на u  0.
1 1 2
При практичній побудові векторних полів спостерігається випадок, коли

функції u і u залежні, тобто якобіан   . 0 Тоді розв’язком системи (1.21)
1 2
отримаємо
du
P  F  ,xu ,  y  1 M  , yx ,
dy
du
Q  F  ,xu ,  y  1 M  , yx ,
dx
де функції F  ,0  ,  0 , u  , yx  0 на кривих u 1  0 і u 2  0, а

M  yx,  довільна функція.
2. Важливою є постановка задачі побудови векторних полів за великої
кількості векторних ліній. Відносно простою є побудова векторного поля за
заданими трьома векторними лініями.
Нехай відомими є три упорядкованих функції
y  y  x , y  y  x , y  y  x (1.25)
1 2 3
на відрізку  ,,ba при цьому y  y  y . Якщо їх взяти за рівняння трьох
1 2 3
векторних ліній, то векторне поле описується рівнянням Ріккаті
dy 2
 P   yx   Q   yx   R  ,x (1.26)
dx
де       xRxQxP , , неперервні функції. Для розв’язування цієї задачі складемо

систему рівнянь

10