Page 13 - 4974

1.4 Моделювання однопараметричних множин векторних ліній
Накладемо обмеження на вихідні прямі u  0 і u  0, що задані всередині
1 2
відрізка  ba, , так, щоб вони не самоперетинались і не перетинались між собою,
а їх рівняння виражались би достатньою кількістю разів диференціювальними
функціями.
1. Нехай з потреб моделювання теоретичного креслення згадані вище
функції записуються рівняннями
u 1  y  f 1   0x , u 2  y  f 2   0x . (1.37)

Побудуємо динамічну систему диференціальних рівнянь (1.11), розв’язавши
яку, отримаємо рівняння однопараметричної сім’ї векторних ліній.
Диференціальне рівняння векторних ліній буде
dx dy
 .
  f  

f  f y   f  f  f  f f   

2 1 2 1 2 1 1 2
Звідси

dy f  f  f   f  f f  
 y 2 1  2 1 1 2 . (1.38)
dx f  f f  f
2 1 2 1
Це неоднорідне лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Після
інтегрування отримаємо
y  C  f  f 1   1 . f (1.39)
2
Якщо позначити через M  , yx 0 0  початкову точку, через яку проходить
шукана лінія, то параметр С визначається з (1.39) однозначно:
y  f  x
C  0 1 0 . (1.40)
f 2  x  f 1  x 0
0
Практичний інтерес викликають деякі часткові випадки, коли функції u і
1
u залежні, наприклад,
2
u  k u  . (1.41)
2 1
Тоді диференціальне рівняння (1.38) матиме вигляд
dy f 
 1 , y
dx f
1
що призводить до розв’язку
y  C f   .x (1.42)
1
Це осесиметричний випадок. Вісь Ox також входить до однопараметричної
сім’ї векторних ліній. Тому лінією u може бути вісь Ox.
2
Зазначимо деякі відомі властивості векторних ліній як інтегральних кривих
лінійного диференціального рівняння. Ці властивості є корисними при вивченні
будови однопараметричнї сім’ї інтегральних кривих, а також при їх графічній
побудові.
Властивість 1. Будь-яка інтегральна крива лінійного рівняння поділяє в
постійному відношенні відрізок ординати між будь-якими двома інтегральними
кривими даного рівняння.
Так, з рівняння (1.39) отримуємо

13