Page 16 - 4974

P  P  P   f  f  f  f ,
1 2 2 1 4 3


  f  
Q   f  f y   f  f  f  f f   , (1.48)
4 3 2 1 2 1 1 2


R   f  f  z  f  f    f   f  f f   .
2 1 4 3 4 3 3 4
Отже, тривимірне векторне поле, натягнуте на векторні лінії u і u , має
1 2
вигляд
  f 


V   f  f  f  f  i   f  f y   f  f  f  f f   j 
2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 1 2 (1.49)

  f  f  z  f  f    f  f  f f   .k

2 1 4 3 4 3 3 4
Конгруенція векторних ліній цього поля описується диференціальними
рівняннями
dx dy
 
  f  


 f  f  f  f   f  f y   f  f  f  f f   
2 1 4 3 4 3 2 1 2 1 1 2 (1.50)
dz
 .


 f  f  z  f  f    f   f  f f   
2 1 4 3 4 3 3 4
Інтегрування системи (1.50) призводить до рівнянь конгруенції векторних
ліній
y  C  f  x  f  x  f  ,x
1 2 1 1 (1.51)
z  C 2 f 4   x  f 3   f 3  .x
x
Для виділення конкретної векторної лінії з конгруенції (1.51) необхідно за
координатами заданої початкової точки  , yxM ,z  визначити параметри C і
0 0 0 1
C і підставити їх значення в (1.51). Ці значення мають вигляд:
2
y  f  x z  f  x
C  0 1 0 , C  0 3 0 . (1.52)
1 2
f 2  x  f 1  x 0 f 4  x  f 3  x 0
0
0
~
При C 1  C 2  0 рівняння (1.51) визначає криву u , а при C 1  C 2 1 криву
1
~
u .
2
~
~
Отже, за двома заданими кривими u і u , розв’язуючи обернену задачу для
1 2
лінійних диференціальних рівнянь першого порядку, можемо будувати
конгруенцію векторних ліній.
~ ~ ~
Нехай початкові криві ,uu 1 2 ,u задані своїми проекціями на площині Oxy
3
y  f 1  ,x y  f 2  ,x y  f 3  ,x (1.53)
а на площині Oxz

z  f 4  ,x z  f 5  ,x z  f 6  ,x (1.54)
де f i  x неперервні функції, що мають неперервні похідні і для яких
виконуються ті ж умови, що і для функцій (1.43). Оскільки на зазначених
координатних площинах функції (1.53) і (1.54) задовольняють деякі рівняння
Ріккаті, то їх прямий добуток визначає конгруенцію кривих у тривимірному
просторі
y  f f  f z  f f  f
2 : 3 2  C , 5 : 6 5  C , (1.55)
y  f f  f 1 z  f f  f 2
1 3 1 4 6 4
що залежить від двох параметрів C і C . Необхідно зауважити, що можна
1 2
складати конгруенції векторних ліній з комбінації рівнянь (1.39) і (1.44).

16