Page 15 - 4974

Властивість 4. Із співвідношення
(1.41) випливає, що складне відношення

точок перетину будь-яких чотирьох
інтегральних кривих рівняння Ріккаті з
прямими, паралельними осі Oy , є
постійним, тобто
A 1 B 1 : B 1 C 1 :C 1 D  A 2 B 2 : B 2 C 2 :C 2 D
1
2
(рис. 1.5).
Ця властивість пояснює побудову
сім’ї інтегральних кривих. Спираючись
на неї, можна будувати лінії сім’ї
графічно відомими з проективної

геометрії способами.
Викладені способи моделювання
однопараметричних сімей векторних
ліній використовуються нижче для Рисунок 1.5
побудови конгруенцій векторних ліній.

1.5 Моделювання конгруенцій векторних ліній
Прямий розв’язок динамічних систем диференціальних рівнянь вигляду
dx dy dz
 P  yx ,,  z ,  Q  yx ,,  z ,  R  yx ,,  z (1.45)
dt dt dt
приводить до конгруенцій інтегральних кривих у тривимірному просторі, тобто
до сім’ї кривих, що залежать від двох параметрів.
Структура конгруенцій кривих P  yx ,,  z , Q  yx ,,  z , R  yx ,,  z , які є
лінійними функціями своїх змінних, досліджена як в афінному, так і в
проективному просторі. Ці конгруенції можна використати для побудови
векторних поверхонь.
Математичне моделювання поверхонь у більшості випадків пов’язано з
наперед заданими граничними умовами. Тому більш важливою є задача
побудови конгруенцій кривих шляхом розв’язку обернених задач для
динамічних систем (1.45).
У п. 1.3 цього розділу векторні поля у тривимірному просторі розглядались
як прямі добутки плоских векторних полів. У цьому випадку конгруенція

інтегральних кривих проеціюється на відповідні координатні площини
однопараметричними сім’ями векторних ліній плоских полів.
~ ~
Нехай криві u і u задані проекціями на площині Oxy у вигляді функцій
2
1
y  f 1  ,x y  f 2  ,x (1.46)
а на площині Oxz

z  f 3  ,x z  f 4  .x (1.47)

Аналогічно з рівняннями (1.39) виберемо функції


F  y  f  f  f  f , F  y  f  f  f  f ,
1 1 4 3 2 2 4 3
 
 
F  z  f 3  f  f 1  f , F  z  f 4  f  f 1  f .
2
2
2
1
Застосовуючи вирази (1.36), отримаємо
15