Page 35 - 4968

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 10

Тема: Неявна схема для рівняння теплопровідності.

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування

Короткі теоретичні відомості
Нехай задано рівняння:

u   2  2 u
t  a x  2 ,
x   ;ba ,

 
u  ,0 x  ,x (10.1)

u  ,at f  ,t
1

u   bt , f  .t
2
Чисельний алгоритм вказаної задачі будують наступним
чином:
n 1  n n 1  n 1  n 1
u u u k 2u u k
k k  a 2 1 k 1 , (10.2)
 h 2
де  – крок по часу; h – крок по координаті x; t  i , i 0 , ..., N;
i
x  kh, k 0 , ..., K ; u  .
n
k k u  xt , k
n
Граничні та початкові умови записуються у вигляді: u    ;
0
x
k k
1  n 1  n 1  n
u  f  t ; u  f  .
t
0 1 k 2 1  n
Вводячи позначення: u n1  u , запишемо рівняння для
k k
знаходження u :
i
  ,
u 0  f 1 t n 1

 a 2
  ru k 1    21 r u k  ru k 1  u n k , r  , (10.3)
 h 2
 k  f 2 t n 1    ,
u
де u – відома величина.
n
k
У випадку, коли розв’язок задачі з використанням неявної
схеми передбачає використання граничних умов, які лінійно

зв’язують функції  txu , та  u  tx, , для розв’язування системи

 k
(10.3) використовується метод прогонки; його реалізація

передбачає наступні етапи:
Вважається, що між u та u існує лінійний зв’язок:
k k 1 

35