Page 33 - 4968

Загальний розв’язок однорідного рівняння записується у
вигляді:

y  C cos   Ct2  sin   t2 .
0 1 2 (9.3)
Однорідним називають рівняння (9.1), в якого в правій
частині функція рівна нулю. Загальний розв’язок рівняння (9.1)

записується у вигляді:
y  y  y , (9.4)
н
з
0
де y визначається за (9.3), а y шукається у вигляді:
0 н
y  Atsin   Btt2  cos   t2 . (9.5)
н
Вигляд (9.5) визначається тим, що частота власних коливань

  2 співпадає з частотою зовнішніх коливань (збурююча сила
i
 t2 ). Підставляючи (9.5)
має частоту 2 – права частина рівняння sin
в (9.1) знаходимо A та B за методом невизначених коефіцієнтів:


y  Asin   t2  2 Atcos   Bt2  cos   t2  2 Btsin   t2 ,
н
 
y  2 Acos   t2  2 Acos( t) 4 Atsin   t2  2 Bsin   t2  2 Bsin   t2  4 Btcos   t2 .
н
2
Одержуємо:
   t 2  t 2  t 2 
4 A cos  t2 4 At sin  t2 4 B sin  t2 4 Bt cos 4 At sin 4 Bt cos sin t 2 .
Зводячи подібні, одержуємо:

t 4 t 2 
4 Acos 2 Bsin sin t 2 .
За методом невизначених коефіцієнтів запишемо:

  0 A  ,0
 4A
  1
  4B  1 B  .

4
Отже, загальний розв’язок рівняння має вигляд:

y  t 2  t 2  1 t 2 .
C cos
1 C sin t cos
2
4
Константи C і C знаходяться з початкових умов:
1 2
 0   
y 0 C 0 ,
1
  10    1  1  5
 y 2C C  .
2 2
4 8
Остаточно:
y  5 sin t 2  1 t cos t 2 (9.6)
8 4
, що і
Очевидно, що (9.6) необмежено зростає при t
пояснює явище резонансу. Якщо ж у (9.1) в правій частині маємо

   t , то y зберігає форму (9.3), а y шукається у
t 2
не sin , а sin   2 н
0
вигляді:
y  Asin   2   Bt   cos   2   t  , (9.7)
н

33